魔方的数学研究

算法： 8 个角方块排列在 8 个位置， 12 个棱方块排列在 12 个位置，共有 8! × 12 ！种。又每个棱方块有 2 个朝向，每个角方块有 3 个朝向，共 3^8 × 2^12 种。因此魔方的状态数是 8! × 12 ！× 3^8 × 2^12 ＝ 519024039293878272000 种，51902亿亿以上。

但在 20 个方块中， 18 个位置确定，另外 2 个位置也就确定了。因此要去掉因子 2 ！。在 8 个角方块中， 7 个朝向确定，第 8 个朝向也就确定了；在 12 个棱方块中， 11 个朝向确定，第 12 个朝向也就确定了。这样要再去掉 3 × 2 因子，实际是上面数的 1/12 ，即总数 8! × 12 ！× 3^7 × 2^11/2=43252003274489856000 。

从另一个角度考虑上面的除数 12 。如果我们确定了 6 种颜色，每种颜色涂在魔方的1 个表面上的9个小方块上。然后然后我们拆开魔方，再打乱了重新拼装起来，那么并不是所得到的每个魔方都能还原为初始状态。具体说，有519024039293878272000 种拼法，可以分为 12 类，每类 43252003274489856000 种。同类里任何两个状态可以相互转换，而不同类间不能转换。

魔方动作的群论表示举例

面对右面（r面），看到右面一层如下左图，转动Y3后如右图，就可得出各块的变动。

类似分析Z3，

二者复合为

其中对角方块，右上角的正号表示此块顺时针转2π/3 ，负号表示反时针转。对棱方块表示有一个方向的翻转。上面分析说明，经过Y3,Z3两个转动，上右前角块回到原地，但顺时针转了2π/3 。还有5个角方块做了一个轮换，各反时针转了2π/3 ，或说顺时针转了4π/3 。7个棱方块做了一个轮换。

这样，可以看出，
（1）如果把动作Y3*Z3连续做3次，那么上右前角方块会回到原来位置，且转了6π/3，即没有转动。
（2）如果把动作Y3*Z3连续做5次，那5个角方块都会回到原来位置，但都转了10π/3，或4π/3，即反时针转2π/3 。
（3）如果把动作Y3*Z3连续做7次，那7个棱方块都会回到原来位置，且没有转动。

我们用魔方电脑游戏可以轻易的验证这些结论。

用这种方法，我们只要给出9个基本动作X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3,就可以求出它们的逆动作X1',X2',X3',Y1',Y2',Y3',Z1',Z2',Z3',在通过计算求出任何若干次动作的结果。我们已经不需要具体的魔方，只要由计算就可以表现魔方的转动。

反过来，如果知道魔方的状态，能否找到复原的方法？也就是把现在状态分解为基本动作的复合，这是个计算问题，相当于把一个矩阵分解为某些特定矩阵的积。如果能解决这个问题并很快给出答案，就完全解决了魔方的复原问题。

解决魔方的记录

利用群论可以给出魔方解法。理论上，解决魔方的步数可能最多只需要 22 或 23步。实际上，英国一位魔方大师利用群论求出的解法最多只要 52 步。 100 步以下就是很好的解法。一般人玩，恢复魔方需要数百步。

2005 年 2 月 2 日的世界魔方比赛中， Shotaro Makisnmi （日本）夺得冠军，成绩 13.27 秒； Leyan Lo( 美国 ) 和 Frank Morris （美国）并列第二名，时间同为 15 秒； Chun Hei Wong( 中国香港 ) 第四名， 18.48 秒。